和が最大になるような数列の並びかえの問題
青チャートBの101番は以下のような問題です。
『自然数 1,2,3,・・・・,n をある順に並べ替えたものの一つをA1,A2,A3,・・・,An とする。1・A1 + 2・A2 +・・・+ n・An を最大にするような{An}はどのような数列か?』
この問題の解き方の指針は、こうあります。
『一般に、k・Anにおいて、k=An、すなわちAk-k=0のとき、Σk・Akが最大になる。
そこで、Ak-kとk・Akの関連を調べ、恒等式(Ak-k)^2 = Ak^2-2kAk+k^2 を考える。』
とあります。それに乗っ取り、解答では
Σk・Ak=1/2Σ{k^2+Ak^2-(Ak-k)^2}
という式から始まります。
上記のことを読んでいて理解はできるのですが、数学が苦手な自分すると、「もしこの問題を見たことがない人が初見でこの問題をテストで見たら、こんな発想できるものだろうか?」と考えてしまいました。
まずAk-k=0のとき、Σk・Akが最大になるということに気付き、そこから (Ak-k)^2 = Ak^2-2kAk+k^2 という恒等式を引っ張り出して、解答するなんていうのは、馬鹿な自分からするとよほど頭がいい人じゃない限り浮かぶものなのかなと思ってしまいます。
聞きたいことは、(受験勉強では)この問題は定石として覚えておくような問題なんでしょうか?
それとも、このくらいの発想は進学校の人はできるものなのでしょうか・・・。