Intel(R)PROset(2)が常駐しているということはドライバはインストールされているものと判断します。
（念のためデバマネで確認してください）
「マイコンピュータ」アイコンを右クリック→「プロパティ」→「ハードウェア」タブ→「デバイスマネージャ」
「ネットワークアダプタ」→「Intel（R)PRO****DesktopAdapter」を右クリック→「プロパティ」→「詳細設定」
「Flow Control」を「Hardware Default」にしてみてください。
つながりましたか？
だめなら
「Link Speed & Duplex」を「Auto Detect」
「Offload Transmit IP Checksum」
と
「Offload Transmit TCP Checksum」
を「OFF」にしてみてください。
TCP/IPの設定
「スタート」→「コントロールパネル」→「ネットワーク接続」→「ローカルエリア接続」を右クリック→「プロパティ」→「全般」タブ
「インターネットプロトコル」を選択→「プロパティ」→「全般」タブ
「○IPアドレスを自動的に～」
「○DNSサーバーのIPアドレスを～」
にチェックを入れて「OK」
IE6.0SP1の設定
IEのメニューバーの「ツール」→「インターネットオプション」→「接続」タブ
「ダイアルしない」にチェック
「LANの設定」をクリック
「□LANにプロキシサーバ～」のチェックをはずす。
→「OK」
これでどうでしょう？
ルータにはアクセスできますか？
自分のIPアドレスはコマンドプロンプトで「ipconfig」です。
追記
「NIC」の「Link Speed & Duplex」ですがルータ側が10Mbpsとか100Mbpsとか固定になっているとつながらないかもしれません。
NICの設定とルータの設定は同じにしてください。
補足
早速のご教授ありがとうございます。 私の「デバイスマネージャー」→「ネットワークアダプター」ではIntel(R)PRO/100 VE Network connctionです。 お教えくださった項目が見当たりません。 詳細設定では、 Adaptive Inter-Frame Spacing １ Adaptive technology on Adaptive Transmit Threshold 12 Coalesce Buffers 8 Enable PME No Action LINK Speed ＆ Duplex Auto Detec Offloading Large Send PCI Bus Efficiency Disabled Qos Packet tagging Disabled Receive Buffers 48 Retransmit Inter-Frame Spacing 10 Transmit Control Blocks 16 以上の項目です。 お分かり頂ければ、又よろしくお願いいたします。