最初に、一言。掲示板の運営ってとってもリスキーだと言うことを認識しておられますか？
罪のない内容の荒らし程度なら、まだ「あなただけ」が苦労する程度ですみますが、誹謗中傷を伴う発言で荒れていると、誹謗中傷された人から、管理人であるあなたが訴えられる可能性までありますし、現にこれで敗訴して損害賠償を払う羽目になった管理人までいることは認識しておくべきです。
厳しいようですが、自分の掲示板でどうすれば、発言を削除・拒否・管理をどの範囲でできるか、どのような操作でできるか、そして、どのような方針でその権利を行使するかは、「掲示板開設前に」考え・調べておく事柄です。
さて、質問の答えですが・・・
発言に犯罪性がある（それこそ名誉毀損から、威力業務妨害、はては、恐喝・殺人までさまざまですが）のなら、ＩＰアドレスとアクセス履歴を警察に提供すれば、後は、個人の特定から逮捕まで警察の仕事です。（この場合、あなたが知ることができるかどうかは別として、比較的簡単に特定可能なことも多いです。そのように法が整備されました。）
発言に犯罪性がないのなら、個人の特定は不可能と考えた方が良いです。ただし、同じＩＰアドレスからの書き込みであるのなら、そのＩＰアドレスからの書き込みを拒否してみるのも一法でしょう。悪意のある輩だと、様々なＩＰから送信したりいろいろと偽装することもあるのでいたちごっこは免れませんが。
発言そのものに犯罪性が無くても、発言を連発されることによってあなたの正当な業務が妨害されたのなら、被疑者不詳の威力業務妨害であなたが告訴する道もあるかもしれません。このレベルになると、法律の専門家（弁護士や警察など）に相談しないと判断も難しいです。無事受理されれば、「発言に犯罪性があった場合」と同じです。
質問が抽象的なので一般論しか書けませんが、まずは、利用されている掲示板の総ての機能の説明を読むことです。もしレンタルでしたら、掲示板をレンタルしている契約もちゃんと全部読んで確認すること。大概どこかに、発言拒否や発言削除の方法がある物ですし、もし無いようなら、そのようなシステムで掲示板を開設するのは自殺行為です。（当然ですが、万が一、”出るところに出る”羽目になった時には、「ＨＰ初心者なのでよくわかりません」なんて言い訳にもなりませんからね。念のため。）
