ANo2の回答そのままですが・・・
エクセルのVB EditorでThisWorkbookのコード欄に以下のコードをペーストします。
(日付を記入するセルを、希望のセルに設定し直しておくこと)
以降の保存に際しては、対象セルに日付が記入されてから保存されます。
Private Sub Workbook_BeforeSave( _
ByVal SaveAsUI As Boolean, Cancel As Boolean)
Sheets("Sheet1").Range("A1").Value = Date
'↑日付を記入するシート名とセルの位置を指定
' (上記は、Sheet1、A1になっています)
End Sub