そうですねえ。アニメに縁のない方はご存じないかもしれません。
有名どころでは、80年代にやっていたテレビアニメ『うる星やつら』の監督をしていました。
劇場版1作目、2作目の監督もやり、特に2作目の『うる星やつらビューティフルドリーマー』は、アニメファンにカルト的な人気を持つ名作です。
週刊少年サンデーで連載していたロボットマンガ『機動警察パトレイバー』は、作者のゆうきまさみをはじめ、5人のメンバーで構成される「ヘッドギア」という集団が「原作者」ですが、押井氏はこの中にも名を連ねており、初期のオリジナルアニメビデオの監督をし、また、劇場版の『機動警察パトレイバー』も2作品作っています。
そうそう。アニメの世界には、テレビや映画での公開を前提としない、販売主体の「オリジナルビデオアニメ」(OVA)というジャンルがあるのですが、「世界初のOVA」である『ダロス』というＳＦ作品を監督したのも押井氏です。
日本のマスコミの間で押井氏の名前が有名になったのは、1995年に監督した『攻殻機動隊』が有名になってからですね。
Wikipediaによると「アメリカではビルボード誌のビデオの週間売り上げ一位を記録（ビルボード1996年8月24日付）するなど、海外で高い評価を受け、日本への逆輸入という形で日本でも評価されるようになった。また、ウォシャウスキー兄弟製作の映画『マトリックス』に多大な影響を与えている」作品です。
その他にも、各種実写映画なども監督しており、アニメ的世界のジャンルでは、「超」がつくレベルの有名人と言っていいと思います。
参考になれば幸いです。
