＃３の方もおっしゃっているように、ママ友さんもいけない事をしてしまったとわかっていると思います。
普通（というのは誤解があると思いますが）子供をたたいてしまう、という事は他人には話し辛いと思うので、ママ友さんは質問者様にＳＯＳを発しているのではないでしょうか。
悪い事をしている・子供がかわいそう・だけどイライラが収まらない・自分はどうしたら・・・
育児ってストレス溜まりますよね。
特に理由やきっかけは無くても溜まりに溜まったストレスが子供に対する暴力となって出てしまったのかもしれません。
ママ友さんはストレスを上手に発散できていないのではないでしょうか？
メールでも電話でもお返事されるのでしたら「大好きなママからたたかれた子供は痛かったし悲しかったよね。あなたもたたいた手と心が痛いよね。話を聞くだけしかできないかもしれないけど、何でもいいから愚痴ってみない？」とお返事されてはいかがでしょうか。
今まであっさりとした関係だったのに、いきなりママ友さんの事が重たく感じられてしまうかもしれませんが、とりとめのない事をポツリポツリ話すだけでもママ友さんは救われるかもしれません。ママ友さんが落ち着けば育児にも少し余裕ができてお子様にあたらなくなるかもしれません。
もちろん質問者様が背負う事ではないですが（本来ならご主人やご両親がママ友さんの事を支えてあげるべきですし）なんとかしてあげたいと思われる気持ちがあるから、ここで質問されているのだと私は思ったので、上記のように提案させていただきました。
あと、区役所等に「こども・家庭支援相談窓口」とかいうのはありますか？（私の居住区ではこの名称です）
「子供のことで心配な事・不安な事、一人で悩む前に・・・」とあります。ママ友さんに教えてあげて下さい。
（１歳半検診でご存知かもしれませんね。おせっかいですみません）
お礼
たくさんの回答本当にありがとうございます。まとめてのお礼で失礼します。 結果を申し上げますと役所の家庭支援相談窓口に電話をしました。 ママ友の名前等聞かれたので答えました。 そして私から役所に相談に行くよう説得するということで電話を切りました。 メールには子供も親も心も体も痛かったねと回答し、役所に相談に行くように促しました。 その後ママ友からの返事はありません。メールはすぐに返ってくる人なのでどんな状況なのか見当がつきません。 今回のことでいろんなことを考えました。私はこどもの頃からコミュニケーションがない家庭で育ったため、人間関係が極度に怖いところがありました。いつも寂しくて寂しくて。いい夫と出会い子供が出来て人間関係もずいぶん克服できました。 今回相談したママ友はお互いママになりたての頃出逢いました。いつも感じがよくて良識があって話していても楽しいし仲良くなりたいなって思いましたが私はいまいちまだ人間関係に自信がもてないので自分から一歩踏み込むことが出来ませんでした。 意外と人はコミュニケーションを求めて生きているのかもしれません。時には自分から心を開いた付き合いも大事かもしれませんね。 今回のことはみなさんの回答にもあったように専門家に任せた方がいいような気がします。これで疎遠になってしまうかもしれませんが素人の判断は返って危険のような気がするので・・・