直接、採用試験を担当しているのは人事院地方事務局になりますが、国家公務員の場合、公務員採用試験を合格して採用者名簿に載ったうえで、各省庁の採用試験（面接）を受ける必要があります。
地方事務局については、下記のアドレスをご覧ください。
さて、ハローワークに勤めたい場合は、各地方の労働局に採用される必要があります。労働局は主に労働基準監督署、ハローワークを所管していますので、「労働局に採用された＝ハローワーク配属」ではないです。労働局本局に行く可能性もありますし、労働基準監督署に配属される可能性もあります（むしろ、退職するまでハローワークだけに配属されるということは考えにくいと思います）。
各労働局はそれぞれ欠員等があるかどうかによって採用人数が決まりますので、公務員削減のなか、各労働局で必ずしも採用があるとはいえませんし、採用区分も異なると思いますが、とある労働局では、国家二種と国家三種の両方で採用試験を行っているようです。
しかし、基本的には国家二種は労働本局採用ではないかと思います（今はこの区分けが壊れてきているので断定できませんが）。国家二種は受験可能かと思いますが、国家三種の方は生年月日の区分が「昭和61.４.２～平成２.４.１生まれの者」とされていますので、現在24歳では受験はできないと思います。
