C-709Xは、扱ったことがありませんが、C-705、C-711M、C-701Aなどの修理をしたことがあります。
おっしゃるように、トレーの開閉にはゴムベルトが使われております。これは、ピックアップの移動のような精度を必要ない、トレーの開閉部分でゴムベルトが空すべりする効果をうまく使って早く静かに開閉しているからです。
つまり、ゴムベルトが空すべりをさせているので、表面が硬化し滑ってしまうことになります。この場合は、ゴムベルトの洗浄や交換で直ります。2種類のプラスドライバーだけで、測定器のも何もいりません。
※但し、トレイが開かないというのは症状が違います。
上記の場合、CDを入れても戻ってきてしまうか、トレーが固定されないような状態（ベルトが切れている---これでも、開かないという表現になりますが、）になります。
稀に、中のギアのかみあわせが悪い場合やスイッチ類に引っかかっている場合があり、これだと、最悪ユニットの交換ということになります。
いずれも場合も、部品代はそれほどではないと思いますが、工賃は最低5000円ぐらいでしょうか？メーカーに聞いてみてください。
C-705FXなら、2万円強で新品が買えますよね。
中途半端にいじると修理してくれなくなりますが、捨てるつもりなら、開けてチャレンジするのも良いと思いますが、始めてやって成功する確率は低いと思いますよ。（慣れれば、簡単なのですが、）
部品のゴムベルトは、販売店経由でメーカーに発注するか、秋葉原の部品さんで買うことができます。（上記の機種と同じなら25Φ×1.6×1.6です）
