こんばんは。miletravelerと申します。
みなさん、回答されていますので補足程度に。
昨日バンコク旅行より帰ってきました。（JAL利用）
ビジネスクラスでもバシネットはつけられます。
ちなみに、私の行きの席は1C（航空機の最前列）で、突き当たりの壁には3つ穴が（そこにカゴをさすらしい）、帰りの便は翼の上くらいのバルクヘッド席で着せ替え台のようなものが壁についていました。（その台を直角に倒して使うようです）
ですので、一番前でもそうでないバルクヘッド席でもバシネットはつけられると思いますし、その席が当初取れなくても基本的に乳児連れの優先順位は非常に高いので、よほどマイレージ会員ステータスが高いか、高い航空券を買っている人が押さえていない限り、座席は確保できると思います。必ず予約時にリクエストを入れておいてください。
女性二人、お子さん連れで大変だと思います。エコノミーとビジネスは疲れ具合が雲泥の差です。しばらくエコノミーには乗っていませんが、エコノミーの方がラクというのは、中央席が全て空いていてそこに思い切り横になって寝る場合以外には考えられないです。（10年ほど前、ヨーロッパへ行った際、そうして過ごしました）
ですので、体力的には絶対にビジネスクラスをお勧めしたいのですが、あとはお子さんをぐずらせないような工夫だけお願いします。
飛行機の中は密室ですので、そこでお子さんが泣き出したりしたら…。周りの人の冷たい視線でかえって居心地が悪くなることもありえます。私（ちなみに女です）がそのような場面に遭遇したら、う～ん、疲れ具合にもよりますが、やはり心を広くもてるかどうかの自信はありません…。
一応、お願いまで。
