前に回答された方と同じ様な内容なのですが…。
ちゃんと手続きをとって英国に滞在する外国人は、観光客（働けない）、学生（アルバイトはできる）、仕事についている（正確には「つける」）人の３つに大別できます。「なるべく長くいたい」というだけの目的であれば、学生であり続けるのが相対的に簡単な解決策でしょう。
それが経済的に無理なら、それなりの定職につける滞在許可（Work Permit）が必要です。手続き等の詳細は、下のURLを見て頂きたいのですが、ポイントは、許可が申請できるのは、滞在する本人ではなく雇う側という事です。だから、まず誰かが貴方の事を「雇いたい」と思ってくれないと話が始まりません。
また申請に当っては、「なぜ英国人でなく外国人を雇わざるを得ないのか」を、雇用者は説明させられる（英国人の雇用確保の為）ので、どうしても「日本人だからこそできる」という仕事を探すのが早道になります。候補としては、日系企業や、あるいは日系企業の相手にした商売をしている会社が考えられます。しかし、雇う側からすれば、英国人と結婚した日本人（＝期限無しの許可を持っている人）の方が楽なので、ハンディキャップはあります。
で、無事滞在許可をもらって数年経過すると、晴れて期限のない滞在許可の『申請』ができるようになります。（私が英国に滞在していたときは、たしか5年経過すると申請できて、審査もそれ程厳しくなかった記憶がありますが、それ程自信は無いし、今の状況はわかりません。）
雇われる事自体が結構大変な上に、「解雇されたら、理論上は滞在許可が無効になる。雇う会社がいないと英国に滞在できない」といった弱みにつけこんで、やたらこき使う日系企業もあるらしいので、かなり困難な道とは思いますが、現実にそれができている人がいるのは事実ですから、全く不可能とは言えません。
もっとも、貴方が英国人と結婚してしまえば、まるで話が変ってきます。（それでも、偽装結婚を排除するために、「以前から付合っていた証拠として、手紙を出せ」とかいった事を言われた人もいたらしいですが。）
尚、英国内で人手不足となっている職業や、医師・公認会計士などの専門職については、正式の資格を取っていたり、（資格が無い業種なら）経験のある人なら、「英国人でもできる仕事かどうか」というポイントについては、相当緩くなるようです。（どんな職業の人が求められているかについては、参考URLに載っています。）
以上、長々と失礼しました。
お礼
回答ありがとうございます。