切手は郵便局での払い戻し(換金)ができない(手数料を払って他の種類の切手・はがき等に交換することはできる)ので、以下のような方法があります。
1.金券ショップ
各種商品券、プリペイドカード、交通・興行関係のチケット、割引券等を売買する店です。購入者は基本使用するために買うので、それがいつまでどのように使えるかどうかだけが問題であり、それ自体に希少性があるかどうかは買取金額に影響しません。あくまでも額面金額と枚数だけが問題になります。
切手の場合でも同様で、封書に使える金額の切手などなら何の問題なく買い取ってくれます。但し、たとえ珍しい切手でも84円切手なら84円分の切手としか評価してもらえません。買い取るかどうかは店ごとに基準があるほか、在庫がだぶついているものは買い取らない等店の在庫状況も影響します。買取基準に合う切手（62円や低額切手など今使うのに中途半端な金額かどうかなどや、記念切手ならシートなのかﾊﾞﾗなのか、見た目の状態に問題はないか等)で在庫に問題なければ、額面に対して80-90%前後の金額で何枚でも買い取ってくれるはずです。
2.趣味の切手店
切手をコレクション対象として収集している人の為の店で、切手の他にコイン(古銭)・紙幣や切符・磁気カード等も扱っていることがあります。希少性のあるものなら(使用済みでも)高額で買い取ってくれますが、巷に希少性のある切手はめったに転がっていません。希少性のない切手は在庫がだぶついて売るに売れないことも多いので買取自体をしてくれないことも多々あります。買取してくれても額面の半額以下だったなんてこともあります。もっとも希少性のある切手でも買い取り価格はその店販売価格の半額以下程度にしかならないようです。但し本当に希少性のある切手なら額面が10円以下なのに何千・何万円の世界になることもあります。
3.ネットオークション等
メルカリ等でダメなのはこの質問で初めて知りましたが、ネットオークションの代表ヤフオクでは今でも出品可能です。
まあかなり古くて希少性がありそうな物なら趣味の切手店に持ち込むのもありですが、たいていの場合失望に終わることが多いようです。
シート単位で見た目に問題なさそうなら、金券ショップに持ち込むのが最も手っ取り早いでしょう。店がいくつもある地域ならいくつか回って切手の扱いが多そうな店や切手の販売金額が高そうな店(販売価格が高ければその分買取金額も高いことが多い)を選ぶのもありです。
また、ヤフオクに抵抗なければヤフオクも考慮に入れましょう。金券ショップの買取金額を意識したような金額にすればそこそこ売れると思います。（もし希少品ならそれこそ価格がせりあがります）
