ブラウザはIE11とのことですがIEはWindowsと一体のデフォルトブラウザですからWinUpdateが正常に行われていれば常に最新状態になってます。
WinUpdateはデフォルトで自動で行われる設定になってますからブラウザのアップデートが必要と表示されるということは何らかの原因でWinUpdateが正常に行われていないということになります。
気になるのはG580にプリインストールされていたWin8をそのまま使い続けているのかどうかです。
Win8を8.1にアップデートしないで使い続けているのであれば既にサポート期間が終了してますのでアップデートは不可能です。
Win10をインストールすることも難しいと思いますので根本的には現行のWin10を搭載したパソコンに代替えするしかないでしょう。
当面の間使うのであればFirefoxやGoogle Chrome等のブラウザをインストールすれば使えるようになりますが飽く迄も一時しのぎに過ぎません。
お礼
詳しく教えて戴き、どうも、有難うございました。