会社の方でやってくれないなら、国保は早急に資格喪失手続きをしないと保険料がかかりっぱなしになります。市役所で手続きを。
そして、2/1から社保ですから、国保の保険証は使えません。月末にレセプト、国保の請求を出してしまうので、ここで拒否されるか支払われるか、どっちでも問題になります。
支払われれば国保の資格喪失がない事になり、保険料がかかります。
病院で社保へのレセプトへ切り替えてもらうなり何なり、手続きが必要になります。2ヶ所でやる事になりますね。
本来、切り替え途中で保険証が無い場合は一旦現金で払い、後に病院か市役所で精算という形にするようになっています。
社会保険は、広義には4種類、労災、雇用、健保、厚生年金で、狭義には健保・年金の2つを言います。国保も健康保険なのでややこしいですが、一般に健保と言えば会社の社会保険の健康保険を指します。健保には色々な団体があります。特殊な健保は給付も特殊で国保が付いているところもあります。
保険料ですが、上記のように4つあるので単純には言えません。
ただ、労災は全額会社負担で、雇用はさほど高くないので無視できます。
残る2つで賃金の15％ちょっとぐらいです。
厚生年金が国民年金の上乗せである事はご存じだと思いますが、健保も国保と違う言い方をするように、内容も若干違います。国保にはない、傷病手当金、出産手当金（一時金と別）があります。国保にある給付はほぼ全て健保にもあります。結構役に立ちますので調べておくといいです。
補足
領収書をなくしてしまったのですが…