zerosixさんが言うように、print文を使うといいですよ。
一応、下に簡単なプログラムを載せておきます。
Private Sub Command1_Click()
Dim i As Integer
CommonDialog1.Filter = "テキストファイル(*.txt)|*.txt"
CommonDialog1.CancelError = True
On Error GoTo err
CommonDialog1.ShowSave '保存ダイアログボックスの表示
i = 0
Open CommonDialog1.FileName For Output As #1
Do Until List1.List(i) = ""
Print #1, List1.List(i)
i = i + 1
Loop
Close #1
err:
End Sub
Formに配置するのは、Command,listbox,commondialogです。(この場合)
commondialogがツールボックスになければ、[プロジェクト]の[コンポーネント]から(Microsoft Common Dialog Control 6.0)にチェックをいれます。
このコンポーネントにより、任意のファイル名で保存ができます。