以下のとおりお答えします。質問者様の文章・説明・添削文の順に列記します。
知人がガンになり痛みで性格が変わるくらい苦しそうな姿をみたとき、痛みを少しでも和らげることをしたいと思い最初は放射線技師を目指していました。
（移り気の印象を与えてしまうかも知れないので、「放射線技師」のことは出さないほうがいいと思います。なお、書類の文章ですから、文頭のインデントをお忘れなく。）
⇒ 知人がガンになり、痛みで性格が変わるくらい苦しそうな姿をみたとき、痛みを少しでも和らげることができないものか、そのためには何をしたらよいか考えていました。
ですが今年看護師になった母から苦痛を和らげることは治療と同じくらい精神的な支えも必要だということを教えてもらい、その両方ができる看護師になりたいと思いました。
（お母さんの教えの言葉を直接話法で書きましょう。そのほうが生きいきした文章になるででしょうから。）
⇒ちょうどそのころ看護士の母から、「苦痛を和らげるためには、治療と同じくらい精神的な支えも必要である」ということを教えられ、それが直接の動機となって、看護士になりたいと思うようになりました。
この添削文を続けて書けば、次のとおりです。
知人がガンになり、痛みで性格が変わるくらい苦しそうな姿をみたとき、痛みを少しでも和らげることができないものか、そのためには何をしたらよいか考えていました。ちょうどそのころ看護士の母から、「苦痛を和らげるためには、治療と同じくらい精神的な支えも必要である」ということを教えられ、それが直接の動機となって、看護士になりたいと思うようになりました。
以上、ご回答まで。
補足
詳しい添削ありがとうございます 放射線技師ということばは出さない方がいいと自分も思いましたが 去年放射線技師の学校の試験を受けて落ちてしまいました なのでなぜ浪人したかと聞かれたら看護士の試験は受けていないので正直に答えるしかなくなります ですから書いたんですけど やっぱりまずいですかね？