確かに、病状によって変わってくると思います。
申し訳ありませんが、福岡の呼吸器科の名医の情報は持ち合わせていません。一番早いのは、そのお医者さんに、名医を紹介して頂くことだと思います。いくらヤブ医者と言えども、我々素人よりは情報を持っているはずなので、それを利用する手はないということです。依頼の仕方もあるとは思いますが、不明な点について説明を求めた後、明確な答えが返って来ない場合は、「病状をはっきりさせるために精査をお願いしたいので紹介頂きたい」と依頼して、紹介状を書いてもらうような形です。そのあとに、「できれば名医を…」と、はっきり言い添えてもいいかもしれません。
大変お困りかも知れませんが、あまり、批判的な態度で臨むと、恐らくいつまで経っても名医には当たりません。それこそたらい回しになる運命に当たると思います。医者に限らないとは思いますが、相手を立てるに越したことはありません。ヤブ医者も生かして利用することが賢明だと思います。それと、もし名医に巡り合うことが出来たとしても、最終判断は相手(医者)に頼り切らない(全くのお任せにしない)ことが重要です。素人判断にも限界があるかもしれませんが、それでもできる限り自分の判断に責任を持つことで、受診や治療が上手くいくことが多いと思います。全くのお任せにしてしまうと、いくら名医でも、こちらの意図しない検査や治療をされることがあります。