空集合は開集合であることの証明が納得できません
X は距離空間とする。
部分集合 U ⊂ X について,U のどの点をとっても,正数 ε が存在して,Bε(x) ⊂ U が成立するとき,U は開集合であるという。
このとき次の定理とその証明が書いてありました。
(i) X 自身および空集合は開集合である.
(ii) 有限個の開集合 U1, ..., Un の共通部分 U1∩・・・∩ Un は開集合である.
(iii) 開集合の族 Uλ (λ ∈ Λ) について,和集合 ∪(λ∈Λ) Uλ は開集合である.
証明
(i) X が開集合であることは明らかである.空集合については,属する点がないのであるから,開集合の条件を満たしていると考えることができる.
(ii) 任意の点 x ∈ U1∩ ・・・∩ Un をとると,各 i について,x ∈ Ui である.したがって,正数 εi が存在して,Bεi(x) ⊂ Ui となる.そこで,ε = mini { εi } とおけば,Bε(x) ⊂ U1∩・・・∩ Un となり,U1∩・・・∩ Un が開集合であることがわかる.
(iii) 任意の点 x ∈ ∪(λ∈Λ)Uλ をとれば,ある λ があって,x ∈ Uλ となる.このとき,ある正数 ε が存在して,Bε(x) ⊂ Uλ⊂ ∪λ∈ΛUλ となるので,∪(λ∈Λ)Uλ は開集合である.
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上記の証明において、
空集合は開集合であることの証明が納得できません。
空集合は開集合であることは、開集合の定義の前提条件が成り立たなくて、偽なので、全体としては真になるのでしょうか?
それとも、空集合は開集合であるというのは、定義にすべきことがらなのでしょうか?
できれば論理的に詳しくお願いいたします。
お礼
ありがとうございました。絞り優先にしてみます。