他の方も答えている通り、積立定期預金という仕組みがあります。
銀行ごとにサービスの名前や仕組みが若干違うので、初めての時は銀行で聞いてみると良いと思います。自分は案内役のおじさんに聞いてその銀行の積立サービスを教えてもらいました。
インターネットバンキングだと、定期預金のところに積立定期預金として書いてあることが多いかもしれません。積立定期預金は一定期間積み立てた後に普通の定期預金に変更するというサービスなので、その期間を設定します。これをとりまとめ期間と言います。
申込時は初回の預金金額、毎月いくら入れるか、ボーナス時(あるいは、特定の月に)いくら入れるか、何ヶ月ごとにとりまとめるかを決める必要があります。今回は、5,000、5,000、5,000、3ヶ月などにすればよいでしょう。
また、財形貯蓄制度が積立定期預金と同等のことをする制度としてあるので、これを利用できる場合はこれを利用してもよいでしょう。財形貯蓄は会社の給料から天引きされ、引き出しが困難な分だけ預けるとお金がたまります。また、財形貯蓄制度の中の財形住宅貯蓄は、住宅の購入や補填に使う場合に限り、一定額(たしか500万円)まで課税されないというメリットもあります。
あと、定期的に払い込んでお金を貯めるというのだと、お金が返ってくるのが定年後になりますが、養老保険や個人年金という仕組みもあります。死亡時に見舞金が支払われ、満期には払った金額プラスアルファが帰ってきます。税制上の優遇措置があります。詳しくは保険会社に聞いてみると良いでしょう。総払込金額とリターン、リスク、条件が会社ごとに天と地ほど違うので3社以上の見積もりくらいは当然取りましょう。
ちなみに、入れる金額が低いと全然たまった感がありません。貯まるお金は、5,000円だと1年で6万円ですが、5万円だと1年で60万円です。不景気なので定期預金の金利はほぼ0と思って計算したほうがいいです。例えば、結婚式の資金400万円を5年で貯めるとしたら、400万円 / 5 / 12 = 6.7万円くらいは毎月積み立てないといけません。自分の場合、貯金が趣味のしみったれたやつだと周囲には思われていたかもしれませんが、給料(手取り)の1/3は積み立ててました。
