状況から考えてカバーが弛み、電球にカバーの重みが掛かって電球が割れたのだと思います。
そして、電球の熱でプラスチックカバーが溶けて割れた電球のガラスがプラスチックカバーに付いてしまったようです。
ガラスは電球程度の熱では溶けませんが、プラスチックカバーは電球程度の熱でも溶ける事があります。
まず、カバーに付着したガラス破片をマイナスドライバー等で除去してください。
直接手で取ろうとするとガラス破片で指先を怪我する恐れがありますから、マイナスドライバーが無ければスプーン等でも良いですから注意してガラス破片を除去してください。
ガラス破片が除去出来たら器具に取り付けられるか確認してください。
大抵はねじ込み式ですから、ねじ込めれば使えます。
電球は60ワット程度の白熱電球を付けてください。
既に割れた電球を外す時は、浴室のスイッチを切って軍手を着用するかタオルを使って慎重に割れた電球を外してください。
不幸にもプラスチックカバーが器具にねじ込めない程の損傷(割れ・溶け)を受けてたなら、器具ごと交換になりますから、最寄りの電気工事屋に交換を依頼してください。
お礼
丁寧な回答ありがとうございます! プラスチックの方がとけてしまっていたのですね。 電球を交換し、スプーンでガラス片を削ってみたのですが、結局ガラス片が取れないまま、父に取りつけられてしまいました。 ガラス片は中についていたので、カバー外側の螺旋部分(?)は問題なく回ったようです。 ガラス片がついたままでも大丈夫なのでしょうか?再度の質問になってしまい申し訳ないです……。