免許証、車検証共に原則を言えば速やかに変更することが必要です。しかし貴方の場合、同じ行政区の中での転居でもありますし、数ヶ月で新住所となるのなら面倒くさいというのも理解できます。
まず免許証ですが、私の経験では交通違反をしない限り、住所を変更しなかったままであると困ったことはありません。ただ住所が確定してそれ以降に免許証の住所変更を申請した場合、住民票記載の新住所への転居日から申請までが相当期間経っているので、所轄警察署の交通課窓口の方に小言を言われるとは思います。
次に車検証ですが車検証の住所を変更するには再度車庫証明を取得した上での手続きが必要です。ですから車庫証明の住所変更=車庫証明の取得です。
貴方の「車検証だけ変更すれば自動車税も新しい住所に請求が来る」というご理解は「県税事務所に対して自動車税の請求書送付先の住所を車検証記載住所から別の住所に変更する」ことで「新住所に納付書の送付が行われる」ということです。
車検証の住所変更は免許証のそれと違い、車庫証明を取り直さねばならないように警察と陸運局に行かねばならないし時間もかかるしで非常に面倒です。
ですからこちらの方は納付書の送付先住所をだけを変更しておき、住所が確定してから車検証に係る諸手続きをすればよいと思います。
また車検証に関して極端なことを言えば、車検証の住所を変更してない場合に困るのは、車を処分するとき、車検証の住所と住民票記載住所が違う場合、その間の居住の履歴証明が必要になり、各市町村にその書類の発行依頼をしないといけない場合です。ただこれも同一市町村での移動であれば住民票に転居履歴が出ていますので問題ありません。
従って車検証の変更に係るめんどくささから考えて変更する程のメリットはないので今回の転居であれば、納付書送付先の変更だけしておけば(はがき1枚でOK)あえて変更する必要はないと思います。