私も、不調の最有力候補はワイヤーだと思います。
１０年前の自転車であれば、たとえ一度くらい換えていたとしても、数年は換えていないはずです。
実際、２～３年使ったワイヤーでも、シフトのキレは悪くなります。
もし、雨ざらしで保管されていた自転車だったら、なおさらです。
ワイヤーを交換するなら、ついでにブレーキワイヤーも交換をおすすめします。
（シフトワイヤーと同じくらい劣化している可能性が極めて高いです）
ワイヤーを換えても改善しない場合は、次点候補はリアディレーラーです。
単に動きが悪いだけなら、交換までは不要です。
清掃給油で動きがよくなればそれでOKです。
以前、知人に数年間物置で寝ていたシティサイクルの整備を頼まれました。
（外装６段変速のやつです）
ワイヤーを換えても変速の悪さが直りませんでした。
特にシフトアップ時、レバーを動かしてから実際に変速するまでワンテンポどころか２テンポ～３テンポくらい遅れる感じです。
リアディレーラーを外して単体で手で動かしてみたところ、普通はロー側に引っ張って手を離すと、スプリングの反力で一瞬でトップ側に戻ります。
ところが、動きが渋くなっていて、手を離してもグニョ～ンという感じでトップ側に戻るのにコンマ５秒くらいかかっていました。
パーツクリーナーで掃除してスムースに動くようにして、給油して組んでやったところ、スパッと変速するようになりました。
ワイヤー換えてもダメだった場合はお試しあれ。
ワイヤーを新品に交換して、その時にキッチリ調整を出しても、ワイヤーには必ず初期伸びと呼ばれる症状が出ます。
新品ワイヤーを使い始めてしばらくすると、インナーケーブルやアウターチューブになじみが出てきて、少し伸びます。
なので、しばらくしてまた変速のキレが悪くなったら、再調整が必要です。
