こんにちは。あなたと同じ年頃の子供を持つ母です。
私の息子のうち1人が公立の単位制多部制高校（文部省の区分では定時制と同じ扱い）を3年で卒業して私大理系に進学しました。
※通常の定時制は卒業に4年かかります。
もう1人は公立の通信制高校を卒業して、これまた私大理系に進学しました。
この経験からお話をさせていただきますので参考になさってください。
あくまでもうちの子らの学校の場合です。
授業レベルは大変低いです。まず授業のある科目自体が少ないです。
例えば数学だと、定時制で数1・A、数2・Bまで。通信制は数1・Aしかありませんでした。つまり数3・Cは学校では学べません。
同様に理科だと、極端な話、通信制では化学1と生物1しかありませんでした。化学2と生物2が学べないどころか、物理と地学は最初からないのです。
文系の科目も同様です。
そして、学習内容も、中学で最低レベルだった子も無理なく卒業できる程度でした（意味はお分かりだと思います）。
うちの子らの場合は、「高卒」の肩書き取得と学生生活エンジョイの為に高校に行き、勉強はすべて塾（大手の予備校）でやりました。
学校の授業内容だけで国公立は無理だと思ったほうがよいでしょう。
（指定校推薦枠も国公立大は無く、低ランク私大が殆どでした）
高校生活で友達が増えたり性格が明るくなったりしたので、高校自体は行かせてよかったと思いますが。
あなたが考えている方法以外に、こんな方法もあります。
私の母校、佛教大学には通信教育部があります。（参考URL）
ここには「本科入学資格コース」というものがあり、このコースを履修すれば中卒でも佛教大学通信教育部の本科に入れます。
（通信教育部から通学部への転部も、条件はありますが可能です）
入学資格コースの学習内容は、大学の一般教養の科目の一部ですので、このコースで取得した単位はそのまま大学の取得単位として認定されます。（つまり、大学の勉強を前倒ししているのと同じです。）
通信教育部も通常の大学と全く同じで、文部科学省が大卒と認定してくれます。
選択肢のひとつとして考えてみてはいかがでしょう。
ご検討をお祈りします。将来に幸多かれ。
お礼
ありがとうございます。参考になりました。