> 第一子
ということは、第二子以降も居る…ということでしょうか？
それとも、唯一の法定相続人なのでしょうか？（除籍謄本により、兄の法定相続人が誰であるかは確認されましたか？）
また、「甥」というのはご質問者さまから見た言い方ですよね？
相続の問題では、続柄については、被相続人との関係を書かれた方がいいですし、言葉が正確でないと混乱を招きます。
ですから、ご質問文を「そこで法定相続人である兄の子（兄は妻と離婚しており、死亡当時配偶者はいなかった）に退職金の…」と書かれるとよろしかったかと思います。
> そこで法定相続人である（中略）甥に退職金の残り部分（分割）が支給されるようです。
「残り部分（分割）」ということは、この退職金は「死亡退職金」ではない…ということでしょうか？
「兄」は既に退職しており、会社の規定で退職金は「分割支給」の形を採っており、その一部については既に「兄」が受け取っていた。
会社の規定では、「分割支給の途中で受給権者が死亡した場合は、その法定相続人に一括で支給する」とでもされているのでしょうか？
その規定によって、まだ受け取っていない分について、法定相続人たる「兄の子」が受け取る訳ですね。
これは、非常に「微妙」なところだと思います。
ですから、専門家に任せた方が間違いはないかと思います。
「兄」がまだ在職中で、この退職金が会社の規定（就業規則など）によって支払われる「死亡退職金」ならば、その規定に「受給権者」についての定めがある場合は、『死亡退職金は遺族固有の財産であって、相続財産には含まれない』と解されています。
ですが、「死亡退職金」でなかったり、「死亡退職金の受給権者を定める規定がない場合」には、『故人が取得すべき財産であり、相続財産に含まれる』と考えられています。
「兄」の勤務先での退職金に関する規定などが分かりませんので、専門家に任せた方が間違いはないかと思います。
> 又、このことを甥の勤務先には報告すべきでしょうか？
「父の死によって、父の退職金を私が受け取ることになりました。」と勤務先に報告するのですか？
聞いたことがありませんけれど…。
