gorikingさん、おはようございます。旅行業界歴が長い者です。
楽天は国土交通省のライセンスをもつれっきとした旅行業者。店舗を待たずにネット上で旅行業を経営する会社です。大手旅行会社と同様の旅行業約款を持ち、今回のような例では楽天トラベルはあなたと「手配旅行契約」を結んだことになります。小難しい話でスミマセン。楽天の責任はあなたが宿泊サービスを受けられるように旅館（ホテル）に手配をし、それをあなたに通知したことで完了したことになります。
しかし問題はその手配がされていなかったせいで予約がされていなかったのか（これなら楽天の債務不履行＝責任）、それとも宿が楽天からの手配を受けていながら部屋を確保する義務を怠っていたかです。後者の場合なら宿に責任があるのはもちろんなのですが、予約完了の確認メールまであなたに送信をしながら手配の完全確認を怠ったとも言える楽天にも責任があります。
責任の分担については楽天、旅館がそれぞれ「自分には債務履行の不備はなかった」と挙証する（証明する）義務があります。それが出来なければ消費者たるあなたに対して当然全面的な責任を負うことになるわけです。
しかしこんなことをあなたを脇において２者が議論しても無駄なこと。通常はまず旅行業者たる楽天があなたの蒙った損害の賠償をし、その後に２者間で責任の分担について話し合う。これが商道徳だと思われます。
あなたの受けた損害は
１.他の宿を手配するに要した時間換算費用
２．その宿に行くための別途交通費など必要経費
３．家族や自分達が受けた精神的被害（失望）に対する賠償
の合計額となるでしょう。
まずは楽天トラベルと話し合うことが先決です。ここで初めて「どういうことが原因で予約がされていなかったのか」が分かりますし、責任を追及することも可能になります。
楽天との話し合いが不調であれば、同社が加盟している日本旅行業協会（JATA）の苦情解決機関である消費者相談室に仲介を依頼することも考えて下さい。
今回はとても残念な結果でしたね。同情に堪えません。
お礼
jess8255さん、こんにちは。 質問に対しての回答ありがとうございます。 一度楽天トラベルの方へ問い合わせしたいと思います。 本当にありがとうございました。