やり方は2つあります。
(1)譲ってくれる人が印鑑、登録証、ナンバープレートを登録している役所へもって行き、一度廃車にする→譲られる人が廃車の際に発行される「廃車証明書(譲渡証も同じ紙に印刷されます）」と登録証を自分の住民票を登録している役所へもって行き、ナンバープレートを発行してもらう。
(2)譲ってくれる人が役所に行く時間のない場合はレポート用紙等に「譲渡証」「住所」「氏名」「電話番号」「型式」「排気量」「上記車両を譲渡します」「印鑑押印（三文判でも可）」を書き、登録証、自賠責保険証書と車両とともに譲る人に渡す。→譲られた人は「譲渡証」と「登録証」と「印鑑」「ナンバープレート」を自分の住民票のある役所へ持っていく。
(1)だとナンバープレートのついていない車両になるので、公道は走れません。
(2)だともらってすぐ乗ることは可能です。譲渡証と登録証をもって役所に乗っていき、役所の駐車場でナンバープレートをはずせばいいので、楽です。ナンバープレートは役所ですぐにもらえるのでまた駐車場でつければ乗って帰れます。
ちなみに、原付は必ず自賠責保険に入らなければなりません。
自賠責保険は車両本体にかかっている保険なので、登録者の名前は何でもいいです。気になるならその自賠責保険の会社の取扱店で変更してもらえます。（保険証書を持って譲る側の人が行きます。）
自賠責保険は解約をするとお金も返ってきますが、半年以下しか自賠責が残っていないと微々たるお金しか返ってこないので、そのままでもいいんじゃないかと思います。
また、4月1日時点で登録している人に次年度税金のお知らせが行きます。ですので、来年お知り合いの方に￥1,000の税金納付書が送られると思います。
補足
登録証とは、役所においているのでしょうか？