>HDDが外付けケースの電源ケーブル規格違いが原因で焦げ臭くなってしまった
上記の情報だけで判断するのは困難ですので、あくまでも想像で判断すると復旧できないこともないと思います。
焦げ臭くなっているのは電圧の違いでショートし、熱を帯びてしまったために配線が焦げてしまったのではないでしょうか。
もしそうであればハードディスク自体に損傷がない限り、そのデータをサルベージすることが可能です。
どのタイプのHDDを使用しているかはわかりませんが、ケースが外せるのでしたら外してしまい、本体PCのケース内にあるドライブケーブルに直接繋いでサルベージしては如何でしょうか?
もし無理な場合は少なくとも電源供給されるように修理するしかないと思います。
最悪の場合は業者に頼んでデータだけをサルベージしてもらうこともできますが、やはりそれなりにお金が掛かってしまいます。
補足
皆さん、素早い回答で大変ありがとうございます。 当方の構成です。どうもケース2台の内のどちらかの電源ケーブルを誤って差し違えてしまいました。 外付けHDDケース2台とeSATAカード イッコイチBOX eSATA CSG35SATA 玄蔵 GW3.5AI-SE2 玄人志向 SATA2E2-EC34 3.5インチSATAHDD HDP725050GLA360x2個 当方ノートPCで稼働してました。 焦げ臭い箇所はHDDの裏側付近です。