とりあえずフィンガリングができてないと当然音も出ないことになってしまいますので、まずはきちっとフレットを押さえるのを重点的に練習してそのあとでピッキングを合わせてみてはどうでしょうか。
特に早いフレーズほど両手のシンクロが大切になってきますよね。ですから、ハンマリングでも音が出る左手(こっちで押さえてますよね?)を強化して、ピッキングは左手と合わせて練習すると良いと思いますが、最初は超スローテンポであわせる練習をして、徐々にスピードを上げると共に左手をなるべく意識して弾くと早く弾けるようになると思いますよ!
どんなに難しいフレーズでも練習すれば絶対に弾けるようになりますから時間があるのであればゆっくり時間をかけてみてください。
それと、フルピッキングということですが、自分は最初と最後の音をなるべく強くピッキングしています。
例えば今回のようなフレーズだと18フレットをダウンピッキングして19フレットはピッキングせずにハンマリングだけで音を出し、21フレットはさっきダウンピッキングしたままのピックをアップして戻す形で弾いていますね。そうすれば弦移動をしても最初をダウンで弾くことができますし、結構速いスピードにも対応できますよ。
まぁ、実際弾いたときにはっきり聞こえないような場合はフルピッキングしますが・・・。
それとやはりゆっくりしたフレーズが上手く弾けないと早いフレーズも弾けないですから日頃から基礎練習を決めておいて(やってたらごめんなさい(^-^;)メニューをこなせばあらゆるフレーズが出てきてもすぐに対処できるようになりますよ!