ＮＯ．４です。返答が遅くなり申し訳ありません。
そういう状況ならば、他の方々がおっしゃるようにやはり簡単な挨拶からはじめるべきだと思います。コピー室以外でも彼女とすれ違ったら簡単な挨拶、「おはよう」「こんちはー」から始めましょう。２度３度すれ違うのなら軽く会釈してまず、あなたの存在を覚えてもらいましょう。ただし、第１印象が大事ですので下の方が言うように毎日清潔感を大事にね。
数日間挨拶して相手に自分を覚ええてもらったあたりで、コピー室など２人きりになったのであれば「こんにちはよく会いますね。俺、○○っていいます。」（この時点で彼女が礼儀正しい人なら、自己紹介するはずで名前がわかるはずです。）
その後、「俺は○日から○○（働いている部署）で働いてます。○○さんはいつから働いているんですか？」とか「今日はこっちは忙しいんだけど、○○さんの方は忙しいですか？」
など一言二言雑談していけば徐々に「会話」に慣れていけると思います。
＞一台のコピー機を使うこと意外接点がなかなかないのです。
これです！この接点を有効に使いましょう。下手に接点を増やすよりも良いと思います。毎回、彼女がコピー室に来た時、あなたが先にコピー機を使っていたら黙っていないで「ちょっと待ってね。すぐ終わるから」とか、自分のコピーを一時中止してコピー機を譲るなど、さりげない優しさをアピールしてみてください。
恋人になるまでの段階として（この段階どうりか自信は無い）
顔以外は知らない人→顔も名前も知っているけど会話したことが無い人→知っていてたまに話す人→知っていてよく話す人→友達（会社以外で会う（遊ぶ、飲む））→親友（相談される）→恋人。
これくらい努力すれば彼女があなたに与えている存在感は「同じ会社で働いている顔以外は知らない人」から「同じ階で働いている○○さん（知っていてよく話す人）」ぐらいにはレベルアップしているはずです。そこから徐々にステップアップしてあなたの理想の段階（恋人）になるようにがんばってくださいね。
自信が無いアドバイスをわたしがするのはここまでです。これで回答も最後にしたいと思います。後は、あなたの行動しだいです。
Ｇｏｏｄ Ｌｕｃｋ！
ｐ．ｓ
結果が悪くても、私と他の回答者さん達を恨まないでね
補足
いつもバイト先で会うのですが、携帯の番号などは知りません。