長い回答・アドヴァイスを書いたのですが、ミスで消えてしまいました。
私的趣味同好会から学校公認クラブとするには、どういう「意義」「目的」があるか、説得力形で、具体的に詳細に説明し、説得しなければなりません。
１）「目的の具体的表現」については、その前に、予備的な調査というか資料収集があった方がよいでしょう。つまり、貴方の学校では、どういうクラブが公認されてあり、どれぐらい部員がいて、どんな活動をしているかというような資料です。公認クラブ名や部員数リストは公開されているはずですから、軽音楽に隣接するというか、多少関係あるクラブがあれば、そこを訪ねて、活動状態や、今度、クラブを造りたいと思っているのでと話、アドヴァイスを教えてくださいなどとして話を聞けばよいでしょう。こういう資料を参考資料として企画書に添付すると有効です。
そこで、「目的」ですが、漫然と個人個人ばらならで私的に趣味に時間を過ごすのではなく、形のあるクラブとして学校生活の一環として軽音楽などの音楽文化活動を行うことで、学校生活をより豊かで形あるものとしたく思います。学校の部である以上、部員とも共同して色々な活動を行うことになり、ただ、私的に趣味の同好が集まってやっていたのと違い、部活活動という、学校学習の一つの形が実現できます。また、そのような文化・趣味で、部活活動をしたいという人も他に大勢いるはずで、その人たちを受け入れる場も実現できるし、私たちも、未知の仲間、新しい仲間と連帯するということが可能になり、文化祭などに向けての共同活動も有意義な学校生活を生み出します。この資料で見ても、色々なクラブがあって、同じように、学校生活を有意義にしようと、部活動がある訳です云々。私たちの企画も、私たちの「お仲間集団」を造ろうと言うのではなく、正式に求めていただき、日々の励みともなるよう、クラブ設立をお願いしています。など。
２）対外活動の予定というのは、これだけでは意味が不明です。わたしは、大いに対外活動をすべきだということで、そのヴィジョンはあるのかという質問だと思ったのですが、学校内部だけで閉じてほしいという希望なのかも知れません。ここは、どちらが担当の先生の希望なのか、把握しないと駄目でしょう。無難なのは、他校の同好のクラブなどとも、交歓して、活動を豊かにしたいと思っていますが、まず発足時点では、足場を固める意味で、本校内部での活動に重点を置き、対外活動なども、展望しつつ、先生方や（顧問の先生）と相談して、高校生として相応しいような活動をしたく考えています、だと、どうとでも取れる内容です。対外活動を考えていないのはおかしいし、しかし、当面は、内部の活動を重視し、というと、当たり前のことなので、これで答えになるはずです。
３）先に「顧問の先生」というのをかっこで書いたのですが、誰か顧問になってくれる先生はいないのですか。あるいは、顧問ではなくとも、賛同してくれる先生とかです。顧問を承諾してくれる先生がいれば、企画書に堂々とそう書けばよいでしょうし、賛同してくれる先生、推薦してくれる先生がいれば、それも書くことです。何々先生も、頑張れと仰っておられます云々とか、何々先生から、顧問となていただく承諾を受けています云々です。
４）書き方の順番が混乱しますが、その受付の先生、または学校が方針として、「軽音楽」というようなものは、高校生のクラブ活動として相応しくないと考えている場合があります。そのため、音楽にも、古典音楽や、現代音楽や色々ありますが、私たちの年代では、軽音楽が、魅力的で、それには、趣味・音楽・文化として、ひたすら打ち込みたくも思っており、学校で学んだことの一つに、このような文化活動を、複数の人と共に、部活として活動したというのは、大きな意味があり、将来にも意味があるように思えます。音楽は色々なものが好きですが、とりわけ、軽音楽が魅力的なのです云々。
先の消えた文章に、もっと色々書いていましたが、大体、以上の内容です。
ａ）私的同好会ではなく、公認クラブ設立の「必然性＝必要性」の納得ある、合理的な理由を明記する。→ 学校の部活として活動することは、意味が違い、それなりに真剣になり、いい加減な私的生活とは違った、規律などのある共同活動が実現できます。多くの他の生徒との交流も可能になります。他の生徒でも、望んでいる人がいると思います。等々。
ｂ）「軽音楽」ということに問題があると考えられている場合もあるので、上に述べたように、学校生活の一環としての部活として、打ち込めるのは、私たちは軽音楽で、音楽は色々なものがあって、どれが良い悪いとは云えないと思います（と言って、音楽ジャンルの色々なものを多数列挙して、その特徴などを述べてもよいです。「軽音楽」を多数の音楽ジャンルのなかで、とりわけ選んでいるということが具体的になります。
ｃ）「顧問」とか「賛同してくれる先生」、またあなた方のグループだけでなく、他の人にも声をかけて、企画発起人に名を連ねてもらい、自分たちの「お仲間クラブ」でないことを具体的に説得力ある根拠で示す。
具体的な状況が分かりませんので、以上、羅列しましたが、実際に企画書を書く時は、内容を整理して、分かり易く、章や項目に分け、箇条書き等にするのがよいでしょう。例えば、
１］ 軽音楽部設立の趣旨 大体の全体の内容で、言いたいことを簡潔に短く述べる
２］ 本校の部活活動の状況……このような色々なクラブがあります。しかし、軽音楽部または、それを扱うクラブがありません
３］ 軽音楽部を設立して何をするのか 設立目的
４］ 軽音楽というのは何か、音楽や文化のなかで、それが高校のクラブとして、このように相応しいのですという理由。また、将来の展望や、計画など
５］ 結びの言葉……「というような次第で、本校には、従来、私たちが、望むような形の部活が行えるクラブがありませんでした。今回、以上のような趣旨と目的、抱負を持って、新しくクラブを設立していただきたく思い、ここにお願いする次第です。なにとどよろしくお願いいたします。」
発起人代表 ＡＡＡＡ
発起人 ＢＢＢＢ
同 ＣＣＣＣ
……
こんな感じです。
「お仲間集団」云々は、言葉としては使わない方がいいでしょう。しかし、そう見られている可能性が高いので、そこを配慮した企画書でないと駄目だとも思います。
補足
基本的には集まってバンドを組むも良し、練習するも良し、デュオを組むも良しの部にしたいです。 発足提案者は自分を含む３人で、できるとしたら入部志望者は結構多いと思います。今まで自分の高校に軽音楽部がなかったものですから知識がなくて...。顧問の先生は承諾済みで、部室も現在物置化している部屋を交渉中です。こんなもんでよろしいでしょうか...？