凸関数について質問です。
右図のように、点Oを中心とする半径1、中心角α(0<α<π )のおうぎ形OABがある。
このおうぎ形の弧AB(端点をのぞく)上に異なる2点P,Qをとり四角形APQBを作る。
P,Qが弧AB上を動くとき、四角形APQBの面積Sの最大値を求めよ。
(ある方の回答)
図形APQBOの面積=Sとし、∠POA=α、∠POQ=β、∠BOQ=γ とすると、α+β+γ=θ。
sinxは 0<x<πの間で上に凸の関数だから、α、β、γについて sinα+sinβ+sinγ≦3sin(α+β+γ)/3 ‥‥‥(1) が成立するから
、2S=sinα+sinβ+sinγ より、S≦(3/2)*(sinθ/3)。
よって、図形APQBの面積=S-(1/2)*(sinθ)だから、求める最大値は、1/2*(3*sinθ/3-sinθ)
等号は、(1)より α=β=γ=θ/3の時。
「sinxは 0<x<πの間で上に凸の関数だから、α、β、γについて sinα+sinβ+sinγ≦3sin(α+β+γ)/3 ‥‥‥(1) が成立するから」
この部分が分かりません。
凸関数について調べてみると
f(x)が閉区間Iにおいて凸関数であるとき
Iに属する2点x1とx2と、実数0≦α≦1を
どのようにとっても、
f(αx1+(1-α)x2)≦αf(x1)+(1-α)f(x2)が
成立することを言う
と書いてありましたが、
f(x)=sinxはともかく、
αとx1とx2に対応するものは
どれでしょうか?
お願いします。
お礼
ァリガトンござぃます(((o≧▽≦)o 自分で作ったりして,楽しめるのゎイィですョネ(●^∀乂∀^●) 本当にァリガトンでしたo(_ _*)o
補足
サィトンに行ッてみたんですケド…ダウンロードができません〃δ(>□゜●)★ どォすればイィですか(+д+;)??