もう解決済みかもしれませんが、一応書いてみますね。
私はいつも、関東にある自宅から、マイカーで北海道をまわっていまして、
車以外のルートは試した事が無いので、あまりご参考にならないかもしれませんが。
●阿寒湖～知床（ウトロ方面）上手くいけば、３～４時間くらいだったと思います。
国道241号---391号---334号・・
（↑この間、一般道を少し走ります。）
で、知床五湖への入り口付近に着きます。
そのまま走って知床横断道路に入りますと、一時間足らずで羅臼です。
知床岬に行かれるのでしたら、知床五胡から、または
羅臼から、ちょっと心細くなるような山道です。
私は途中で引き返してしまったので、どこまで車で行けるのか分かりません。
『カムイワッカ湯の滝』も知床五胡からすぐです。
結構ハードな川（崖？）登りと聞いていましたが、
子供３人連れても大丈夫でした。
新婚旅行には向かないかもしれませんが。(^_^;)
知床五胡レストハウスでしか食べられない『こけももソフト』は、
と～～～っても美味しいです！
初めての味、香り。ステキでした♪
私はソフトはバニラが一番！と思っていますが、これは本当に美味しかったです。お奨めです(^_^)v
●網走～旭川
これは私はご質問者様とは逆ルートで走り、途中一泊しましたので、参考にはなりませんね。
多分一番早いのは、千歳空港から女満別空港でしょう。
確か一時間足らずだったと思います。
手続きや待ち時間など入れても、一番早いでしょう。
次に早くて確実なのは、札幌からJRで網走でしょう。
それでも６時間近くかかったと思います。
ご質問者様がどのような交通機関を使われる予定なのかわかりませんので、
分かる範囲で書かせていただきました。
ご参考にならなかったらごめんなさいね。
ステキな新婚旅行になりますように！
