書院というのは飛雲閣ではなく、これも国宝ながら本堂の横にある建物の方です。こちらは事前に申し込めば日程が限られているものの拝観は可能です。お寺が話されたのはこちらの方のことだと思います
一方の飛雲閣は境内の端の方にある茶室ですので、書院拝観時に参拝（拝観）することは出来ません。
京都では毎年１１月に非公開文化財の公開行事を行なっており、数年に一回飛雲閣も含まれます。最近では２００１年に公開され、その際にぼくも拝観できました。隣の黄鶴台という浴室や全く注目されていませんけど充分の鐘楼など見所は多いです。何より、庭園そのものも素晴らしく、池に映る飛雲閣のアシメトリー（非対称）の美しさは他に比較できるものはありません。
そういうわけで飛雲閣ならそれを待たれないと結構厳しいかと思います。菩提寺と交渉されても、御住職とスケジュールを合わせた上その分まで費用負担されたりしたら大変かと思います。
なお、旅行代理店（特に近畿日本ツーリストが積極的）でも特別に西本願寺の書院及び飛雲閣（書院のみのケースと両方のケースとあります）拝観が含まれているツアーがありますのでそれに参加されるのも良いかもしれません。それでしたら今年中でも拝観できるかも。
結局３月末となるとちょっとどれも難しそうなので残念ながら難しいでしょう。国宝の唐門はいつでも拝観可能です。書院も外観だけなら大丈夫（な筈）ですし、秘策として隣のお寺（名前は忘れました－南側です）の境内から、飛雲閣の上半分ぐらいの裏側は見ることが出来ます。どうしても、ということであれば、それでちょっとは雰囲気を味わえるのでは。
なお、勿論ご存じとは思いますけれど、本堂・阿弥陀堂は別の建物（書院とも飛雲閣とも違う）ですから、純粋にお参りされるだけならいつでも自由に（日中なら）出来ます。念のため。
お礼
ありがとうございます。ご回答！ 旅行代理店（特に近畿日本ツーリストが積極的）でも特別に西本願寺の書院及び飛雲閣（書院のみのケースと両方のケースとあります）拝観が含まれているツアーがありますのでそれに参加されるのも良いかもしれません。＞これに挑戦します。 本当にありがとうございます。門徒とは言えさほど熱心ではありませんでした。今年、近親がなくなり、妙に信仰心強くなり、参拝したくなりました。 またご指導くださいませ！