エジプト分数表示、有理数を単位分数の和で表す
エジプト分数表示と呼ばれる、有理数(ただし0から1の間)を単位分数の和で表すことについて調べています。
http://www.interq.or.jp/www-user/nozato/pseudo/noteof/note5.html
によると、
p/qより小さい単位分数のうち最大のもの(1/n)をとってきて、
q/p=1/n+…
と考え、残りを同様に続けると有限回で終わることが示されています。これは欲張り展開法とも呼ばれるそうです。
次に、
http://www5d.biglobe.ne.jp/~bongo/math/math01.html
によると、
n/m が単位分数分解できることを示すのに、
「n と m が互いに素より、 an - bm = 1 となる a,b ∈ N が存在する」
ことを用いて、示されています。
あと、
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/abunsuu.htm
によると、
「リンド・パピルスの方法の推理」とよばれる次の方法があるそうです。
1.元の分母を越えない最大の3の倍数をみつける。
2.その数を3で割り、2を掛ける。
その数が求める1つの分母になる。
3.与えられた分数から2)で求められた分数を引く。
分子が1のとき、求めるもう1つの分数となる。
分子が2のとき、約分出来るときは、約分した分数が、求めるもう1つの分数となる。
約分出来ないとき、1)にもどる。
分子が3のとき1+2に分割して2、3の分数が求められる。
で、このリンド・パピルスの方法でどの有理数も単位分数の和で表すことができるのかがわかりませんので教えていただけないでしょうか?
また、単位分数分解で知られている一般的なおもしろい結果がありましたら、教えていただけないでしょうか。
お礼
私が行おうとしている計算では、おおよそ何分の一かということを求めたいだけなので その程度の計算精度で十分です。 大変参考になりました、ありがとうございました。