お互いのやり取りがわからないので、印象だけ。
「自分が誕生日なんで今度のみにでも行こう」
は、前後の文脈や、会話によっては記念日をあなたと過ごしたいというメッセージにとられると思います。しかしながら、文中の「今度のみに行こう」は、誕生日にのみに行こうとは書いていないので、
これでは、もしかしたら、誕生日以外の日で(その日は別の人とよていがあるから)友としておごってくれ!とも読めてしまう気がします。
ケース別に言えば、
彼女があなたのことが好きだとして、「今度」という表現は当日以外というふうにとられ、せっかく誕生日当日を開けていたのに、その日じゃないんだと思われたとか。あるいは全く正反対で、
あなたのことを友達以上にみていないときに、誕生日を一緒に過ごそうという内容として前後から捉えたとしたら、そりゃ引きますよね。もちろんお二人のご関係にもよりますが。逆の立場を考えてみてください。
好きな人から、誰もいないからその日開いてる?とか、その辺りでおごってくれない?と自分が誕生日にプレゼントでもと思っている彼女にそういわれたら、それなりにへこみませんか?
逆二、飲み友達程度に思っていた人に、誕生日はあなたと過ごしたいの。。。。とかいわれると、ちょっとそれは重すぎる。。。。とか思いません??
単にメールの返事がないだけでしたら、もう一度予定をはっきりさせて誘ってみたらいかがですか?もし他のアプローチでも連絡がないのであれば、いずれかの誤解を受けているかもしれないですね。
想像が巧ましすぎるでしょうか。。。