まず一番早くて確実というならば、FedexかUPSですが郵便局でも大丈夫ですよ。
Fedexの一番早いサービスは大体2日で着きます。
郵便局の一番早いもの（後述）は大体3日で届きます。
USPS（郵便局）にも書留はありますよ。Certified Mailといいます。
でも小包みなどには使いませんし、海外向けでしたらGlobal Express Guaranteed(GXG)が早いと思います。（専用伝票を使用します）どこの郵便局からも発送できますし、専用封筒ももらうこともできます。
私は小さいものを送る時はGift Wrappedしてから袋にいれて、更にこの郵便局の専用封筒に入れます。
Waterproofだしかなり大きい袋もあるのでお勧めです。
また伝票番号でweb上で配達状況も検索できます。
それから関税ですが、ギフトでも100ドル以内でしたら通常関税はかかりません。
心配でしたら値段を書くところに60ドルとか比較的安めにかいて（もしその値段が相手との関係になにかの問題を起こすのであれば）中に手紙で税関向けに値段は安く書いてある旨を伝えればいいと思います。
中身をあけてチェックするのは小包みで申告より重かったりする場合などが多いです。
だからといって箱を開けないとは限らないのですが、中のものがGift Wrappedされていてリボンなどがかかっているならば日本の税関も包装を破ってまでは開けないと思います。
これに関してはFedexでもUPSでも税関検査は通るので必ず値段はslipに書かないといけません。
ご質問の品でしたらかなり小さいものですし、ＥＭＳでもFedexでもＵＰＳでもいいと思いますよ。
品名を書くときに「Leather purse」と書くとLeatherという言葉で税関の人が高いものかどうかチェックしたくなってしまうかもしれませんからただ「Purse」とだけ書きましょう。
以下サイトです。
FEDEX www.fedex.com/us/
USPSの海外向け発送（荷物の場合）
www.usps.com/global/sendpackages.htm
UPS www.ups.com
もしほかにわからないことがあれば書いてください。
私はアメリカの日本の運送業者も含め、ありとあらゆる方法でアメリカから荷物を日本や海外に送っていますので大抵のことにはお答えできるはずです。
お礼
CATLINさん、丁寧なアドバイス本当にありがとうございます！調べてもわからず、郵便局へ行っても英語がよくわからないので困り果てていまして、本当に助かりました！重ねて御礼を申し上げます。