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不連続な軌道を描いている場合のリアプノフ指数の求め方を教えて下さい。参考論文（図書）などでも構いません。よろしくお願いします。

ニューラルネットについて独学で勉強しているのですが、数学的な観点から理解を深めたいと考えています。 自分で図書を色々と探してみたんですが適当なものが見つかりませんでした。ご存知の方がいらっしゃいましたら教えて下さい。 また、株価の学習による近似もやられていると聞いてますが学習結果出力と学習後の各種パラメータ（θ、ｗ）の関係が全然分らないというのを本で読んだことがあります。 ニューラルネットに限らず、非線形的な関数で記載される現象については、シミュレーション的なアプローチしか出来ないのでしょうか。

乱流拡散，移流拡散について教えてください

小学校３年生から習う分数の学習の系統図（流れ）を知りたいので教えていただけませんか？

長軸をａ、短軸をｂとしたときの楕円体の体積を教えてください。 正確に求めるのは困難だとおもうので、 良い近似値（ここでは正確性より単純性）があれば教えてください。 ２ｂ＞ａ＞ｂの範囲です。 また、下記のＵＲＬの回答が納得できないので、 それについても御教授ください。 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=11507 宜しくお願いします。