chopper0251さん、こんにちは！貴重なデータが入ってるHDDは不能になって本当に大変ですね。私も同じ立場であればそう思います。さて、HDDが故障したかどうか検討する前に、以下の基本的なトラブルシューティングを行ってみましたか？因みに、お持ちの外付けHDDは「内蔵HDD + 外付けHDDケース」のパターンですね。
１．HDDは動いている音がしますか？あるいは、手でHDDが動作しているかを確認します。
２．確認するため、もう一度他のPCか、USBポートを持っているデバイスに接続してみてください。
３．USBケーブル（他の持っている場合）を交換してみてください。
４．ケーブルがしっかりと外付けHDDまたはPCの両方に接続されているか確認してください。
５．他のUSBポートを試してください。PCに接続する場合はPCの背面にあるUSBポートを使ってください。
６．USBハブを介しないで、直接パソコンに接続します。一部のUSBハブは外付けHDDが機能するために十分な電力を提供できないからです。
７．PCにインストールされているUSBとチップセットのドライバは最新かどうかを確認します。確認方法はウィンドウズアップデートを更新するか、或いはマザーボード・システムメーカーのサポートWebサイトでダウンロードして最新のドライバを更新します
８． マイコンピュータにドライブの状況を確認します。
i.スタート→コンピュータをクリックします。
ii.マイコンピュータに認識できなかったら、(9)を進めてください。
９．デバイスマネージャにドライブの状況を確認します。
i.スタート→コントロールパネル→システムとセキュリティ→システムの下でデバイスマネージャをクリックします。
ii.デバイスマネージャにドライブの表示があるなら、それを右クリックし、アンインストールを選択します。システムを再起動し、Windowsが自動的に再インストールするので、それがどうなるかみてみましょう。
１０．(9)をした後に、ドライブはディスクの管理に認識できると思います。
i.スタート→コントロールパネル→管理ツール→コンピュータの管理をダブルクリック→ストレージの下でディスク管理をクリックします。
ii. ドライブがディスク管理に認識する場合、ドライブ文字（レター）を割り当てください。ドライブを右クリック→ドライブ文字とバスを変更→文字（レター）を選択します。
iii.これが終わったら、「マイコンピュータ」を開くとHDDが表示されると思います。
上記をチェックした後でも、外付けHDDまだ認識できない場合は、サードパーティーなどのHDDチェーカーソフトを使用して、ハードディスクの健康状況を確認した方がいいと思います（認識できるPCでするとか）。それに、念のため重要なデータのバックアップをしておくことを強くお勧めします。
問題解決に繋がるといいですね。よろしくお願いします。
補足
コメントありがとうございます。 ディスクの管理からも見ることができません…