結論から言うと、質問文通り「アプリによって異なる」となります。
電話帳を例に取れば電話帳「アプリ」とそこに入力した各自の「データ」とあるわけですが、他のアプリも含めてアプリプログラムはGoogleアカウントを新しい機種で変更・新規登録することなく、同じアカウントを利用するのであれば、使っていたものはそのまま新機種でダウンロード・インストールできます。
この場合もアプリごとの細かな設定などははじめから設定し直しとはなりますが。
問題は「データ」です。
アプリごとにデータをバックアップできる機能が備わっている物、いない物と様々です。
電話帳、ブラウザ、ホームアプリなどは、大概このデータや設定内容のバックアップ機能がある物も多いですが。
電話帳に限って言えば独自に入れられたアプリではなく、購入時から入っていた標準の電話帳アプリを指しての質問かと思いますが、今お持ちの機種と、新たに購入される機種それぞれでの相性となります。
機種によっては独自の電話帳アプリが装備されている物もあり、データ移行が出来る出来ないも違ってきます。
断言も出来ませんが、一応念のため、今お持ちの機種で「設定」→「microSDと端末容量」→「microSDバックアップ」→「保存」→「暗証番号入力」と進み、電話帳を始め表示される項目で必要とされる物をSDにバックアップだけはされておいた方が良いかと思います。
あとは新たな機種でそれを同じ手順で「読み込み」出来るかどうか。
データ移行はAndroidシステム、あるいはアプリそのものの「保存・読み込み」機能で行い、キャリアであるdocomoの「お預かりサービス」などは、キャリアが異なれば何の役にも立ちません。
お礼
ご回答ありがとうございました。