個人情報を過度に気にしていてはスマホなんて使えません。
例えばLINEなどは電話番号にSMSで認証コードを送ったり、端末の電話帳をLINE側にアップロードすることで知り合いをすぐに探知できるようにしたりしています。しかし、それらの情報は企業側で高度に暗号化され、強固なセキュリティのもとで保護されています。大企業が出しているアプリならほぼ問題はないでしょう。彼らも個人情報を悪用する会社というレッテルを貼られたくはないでしょうから、そのへん力を入れているはずです。
しかし、Playストアには個人情報狙いのマルウェアアプリも入り込んでいたりします。なので、セキュリティアプリをまずは入れておきましょう。大抵はキャリアと契約するときにそのキャリアが提供するものが無料で入れれるように契約されているかと思います。そうでなければ無料のセキュリティアプリもありますよ。avast!とかオススメですね。
最初のうちは大企業が出しているアプリを中心に動いてはどうでしょう?質問者様のように不安に思う人もたくさんいますから、Playストアにはレビュー機能などもあります。レビューを読んで信用できそうだと思ったらインストールしてみてはどうでしょうか。
あと、なるべく提供元不明アプリのインストールは許可しないほうがいいですよ。セキュリティ的に危ういです。自らセキュリティの水準を下げている事になりますので。
Playストアという公式ストアを通してアプリを落とし、レビューを読み、信用できると思ったらインストールする。
このくらいしていれば問題はないかと思います。