結論から言えば、フィールドに出した（特殊召喚した）時点では、どちらもなんともなりません。
シューティングクェーサーの効果は、
「魔法・罠・効果モンスターの効果の『発動』を無効にし、破壊する」
です。青眼の光龍の攻撃力をアップさせる効果は、永続効果といって、場に出たことで発動するというタイプではありません。よってクェーサーは効果を使えません。
青眼の光龍の効果は
「このカードを『対象にする』魔法・罠・モンスターの効果を無効にする。」
です。場に出ただけでは何かの対象にされているわけではありませんから、この効果も使えません。
効果の優劣だけで言えば、クェーサーは光竜の効果を無効化し破壊できるが、光竜はクェーサーの効果を無効にすることはできません（詳しく言うなら、クェーサーが光竜を対象にとる場合は、光竜の「無効にする」効果を無効にする場合のみですので）。
戦闘になれば、普通に攻撃力が高いほうが勝ちます。クェーサーが負けた場合は、シューティングスターを特殊召喚できますが。
『対象をとる効果』というものについて調べてみるといいと思います。
お礼
rokomettoさんご返事はありがとうございます。
補足
(1)相手は先にフィールドにシューティグクェサードラゴンがいて次に自分のターンになり青眼の光龍を召喚したらどうなりますか？ (2)自分の先にフィールドに青眼の光龍がいて次に相手のターンにシューティグクェサードラゴンを召喚したらどうなりますか？