私も，まず図書館の利用をお薦めします。
原紙（新聞の現物のこと）は場所も取りますので，1年程度で廃棄してしまう図書館も多いのですが，縮刷版（1ヶ月分の紙面を縮小して本にしたもの）やマイクロフィルムのような形で利用できるところも多くなっています。
私が今住んでいる市の市立図書館（東京都内）では，大正時代以降の朝日新聞が，マイクロフィルム・縮刷版・原紙のいずれかでそろうようになっていましたし，昭和40年代以降は読売・毎日の縮刷版もあります。
以前住んでいた市の図書館では，明治初期の創刊以来すべての号のマイクロフィルムが揃っていました。
都道府県立の図書館でしたら，さらに種類は多く，地方紙や外国紙などもあるでしょう。
具体的に何新聞が欲しいのか，また記事のテキストデータだけでいいのか，それとも写真なども含めた紙面そのものがほしいのか，さらにはお住まいの地域などの情報があれば，より回答しやすくなるのですが。
各新聞社でもバックナンバーのコピーサービスを行っているところは多いですが，当然ながら自分のところの新聞だけになりますので，まずは図書館に出向いて，それで入手できなかったものは直接新聞社に問い合わせたほうが効率が良いと思います。
