こんばんは。
大急ぎのようですので、既に答えが決まっているかもしれませんが・・・
もし、車を使用するのでしたら、JHのホームページをご参考ください。
福井ICから秋田中央ICまで、「北陸道」「磐越道」「東北道」「秋田道」を使用して
約10時間56分高速料金16,900円です。これにガソリン代ということになりますね。
http://search.jhnet.go.jp/route/index.html
JRご利用なら、寝台特急日本海なら乗り換えなしで、しかも夜出て朝着くパターンですので、
意外と楽かもしれません。（料金は高いですが。。。寝台料金がなー）
福井駅から秋田駅までだと約9時間8分料金は乗車券9,560円寝台料金9,450円です。
http://www.jr-odekake.net/
高速バスをお考えなら、金沢～仙台～秋田と乗り継がなければなりません。
ただし、時間もお金もかかります。
金沢まで電車で行くとして、普通電車で約1時間30分で1,280円（片道）。
金沢～仙台夜出て朝着くパターンで往復16,100円。
仙台～秋田は朝1のバスに乗るとしても約2時間の待ち+約3時間40分で往復7,200円です。
飛行機は名古屋から出ていますので、
福井～名古屋を高速バス約2時間で往復5,000円。名古屋空港まで約30分で870円（だったような）。
名古屋～秋田間が飛行機で約1時間10分。料金は特割＆チケットレスでも片道20,650円です。
時間的には一番早いですが、恐らく一番料金は高いと思います。
船便は#1の方がお答えになっているので、省略します。
以上の結果、私としては、電車をオススメします。
ただし、２人以上で行くなら、車の方が（料金的に）いいかもしれません。
長文になりますが、もう少しお付き合いください。
以前に友人と２人で福井から青森まで旅行をしました（福井在住です）。
車で行ったのですが、高速代・ガス代を折半したところ、２人でぎりぎりちょんちょんと結論づけました。
（電車と比べた場合ですが、現地での移動（バス・レンタカー）の代金は換算してません）
ちなみに下道はオススメしません（当然ですが）
高速がない時代に父が青森まで車で行ったそうですが、とんでもなく時間がかかったと言ってました(~_~;)
安いのを優先するのか、早いのを優先するのかによって、何を選ぶのか決まってくるのでは？
長い文章でスミマセン。
お礼
皆さんにここで御礼申し上げたいと思います。大変詳しく丁寧に教えていただきましてありがとうございます。 実は私の日系ブラジル人の友人が秋田の親戚を訪ねたいということで探していました。車は持っていないし、お金もないので、とにかく安くということだったのです。 私自身でもいろいろと安くいける方法を探していましたが、うまくいかず、困っていました。 特にnewdaysさんやequyooさんには細かい運賃まで教えていただきまして大変参考になりました。まだ検討中ですが、きたぐに、いなほを利用するルートで行ってみるように勧めてみたいと思っています。 みなさん本当にありがとうございました。