一次要素(1/(s+a)のn次の逆ラプラス変換
皆さんよろしくお願いいたします。
複素数s、正の自然数n、実数aで構成される次の式の逆ラプラス変換を解こうとしています。
(a^n)/(s(s+a)^n)
n次というのが壁となっていて解くことが出来ません。どなたか
ご存知の方いらっしゃいましたらご教示いただきたく
お願いいたします。
一つは部分分数展開する方法があると思いますが、X_nをs,n,Tで表わされるものとして
(a^n)/(s(s+a)^n)=X_1/s+X_2/(s+a)+X_3/(s+a)^2+・・・+X_(n+1)/(s+a)^n
としましたが、X_nをどう解いたらよいかわからず断念。
二つ目は留数定理を用いてf(t)=L^(-1)[a^n/(s(s+a)^n)]とおくと
Res[e^(st) F(s),0]
=(1/(1-1)!)lim{s→0}(d^(1-1)/ds^(1-1))[(s-0)](a^n)/(s(s+a)^n)e^(st)=1
Res[e^(st) F(s),-a]
=(1/(n-1)!)lim{s→-a}(d^(n-1)/ds^(n-1))[(s+a)^n](a^n)/(s(s+a)^n)e^(st)
=(a^n/(n-1)!)lim{s→-a}(d^(n-1)/ds^(n-1))(e^(st))/s
となりやはり(d^(n-1)/ds^(n-1))(e^(st))/sの項がネックとなり断念しました。
お礼
なるほど! ベストがありましたね。 レコードやさん?(今はCDショップか)に行ってみます。 ありがとう!! 030906 0:33am