ダウンロードができないなら、ネットの問題ですが、
ダウンロードはできるのにインストールで失敗している症状が最近発生しました。
前者だったら以下は無関係ですのでご容赦。
何があったかというと、
アンドロイドマーケット(接続アプリ)が最近バージョンアップされました。
恐らくなんとなくそういうUPDATEをされた記憶があるのではないでしょうか。
その時、XPERIAの設定で「アプリケーションの設定-提供元不明のアプリ」のところで、「サードパーティアプリケーションのインストールを許可する」が許可するようチェックされてないとダウンロードはしてもインストールで失敗し、「ダウンロードが失敗した」という意味のメッセージが出ます。
解決策は(たぶん)このチェックを入れるといいのでしょうけど、本来防ぐべきサイトのダウンロードまで許可してしまうので私は以下の対処方法で解決してます。
設定の「アプリケーションの管理」から、「マーケット」をアンインストールします。別にマーケットに接続するアプリが消えてしまうわけではないのでご安心。
その後、マーケットアプリをタッチして接続してみてください。従来どおりダウンロードできると思います。