とりあえず最初に。
「ありえない」とか別のブラウザで確認しろとか言ってる人がいますが、質問者さんはYahoo!メールのベータ版を使用しており、「メールオプション」なる文字は存在しません。
ですので別ブラウザで確認しても「メールオプション」という文字はありませんので無用な心配は、されませんよう。
さて、では本題。
>両方ともLive Mailで送受信が出来ません
とありますが、
>Live Mailからの発信は双方のホームページのメール欄で受信されます
ということですので、送受信ができないのではなく受信だけができないということでいいでしょうか?
だとして、送信はLive MailからできているのでYahoo!デリバーの設定はできていると思われます。
一応、確認もふくめてデリバー設定を見直されてみてはいかがでしょう。
#4さんが言うように、一旦従来版に戻されるとリンク先の説明がわかりやすいですね。
ベータ版のままでも確認だけはできますので、ベータ版の場合は右上にある「メールの設定」をクリックして、
・「POPアクセスとメールの転送」で「ブラウザアクセスとPOPアクセス」になっているか。
・「Yahoo!デリバー」で「登録する」が選択されている。
この2点を確認してください。
(多分ちゃんと設定されていると思うので)
Live Mailで受信した際に、受信トレイの右下に「○通の新着メッセージ」とでませんか?
新着メッセージがあったのなら、どこかのフォルダ(迷惑メールなど)に振り分けられていないでしょうか。
あとは、メッセージルールが設定されていてそれが適用されているなども考えられます。
ツール → メッセージルール → メール で、ルールが作成されていないか確認してみてください。
補足
ご指導有り難うございました。 不慣れなため質問の内容が不適切でご迷惑 かけました。 (1)Yahoo!メールはベータ版でした。 (2)送信は送信記録に残っているため、出来いると思いますが、受信が出て ません。 以上のことからご指導の内容により設定したいと思います。 皆様有り難うございました。 質問を締め切ります