事前にその人の国にある日本大使館でビザをもらわなくてはいけないのか、それとも日本の空港でいついつまで滞在できますというスタンプがもらえるのかは 入国を希望している人の国籍によって違ってきます。
また、一般的にこの国の人には何日間で・・・と国籍によっても空港で押してくれるスタンプにある滞在許可期間がちがってきますし、たまに空港の審査官によって短くなったりします。極端な話ですが、私の取引先のニュージーランド人の人は日本に来すぎているという理由で先日入国拒否をくらいました。その人は買い付けの仕事の為、一年に3回、それぞれ3ヶ月間日本に滞在し、それを10年くらい続けてました。
この入国の際にもらったスタンプの期限をこえて滞在し、日本にある入国管理局にビザの延長申請もしていないばあい、不法滞在となります。
病院の件は、その人が海外旅行保険などにはいってない場合は、ビザ期間中であろうがビザが切れていようが 保険はききません。
もしその人が不法滞在の立場になってしまっていて、入院をまじかに控えている場合は、外国人の人の為の相談センターのようなところ(ブラジル人の相談センターとかはあるようですが)に相談にいくか、外国人の顧客をたくさん抱えている弁護士さんに相談するか・・・