弦を押さえる時の問題の修正についてですが、基本的には手全体のバランスを見直して、フォームを修正するのが良いでしょう。
コードなどを弾く時に目的以外の弦に触れてしまうことについては、指が不要に寝てしまうことに原因があると思います。 この時は、なるべく弦の上から指先を立てる形で指が入るように弦を捉えるのが良いでしょう。 そのために、指を運びやすいフォームを作るのが良いと思います。
弦を押さえるときについてですが、なるべく指は逸らさないようにして、内側に曲げる動きを主にするのが良いでしょう。 指を真っ直ぐにして弦に向かわせるより、物を握るときのように指先が手のひらの方に向かう動きで弦を捉えるようにする方が、指先に力を伝えやすく、指の動きとしても自然になるはずです。 その意味では、指先の軌道に関して、直線的な動きをしようとするのではなく、指の根元を支点とした弧を描くような動きを意識してみるのが良いでしょう。
また、指を届かせやすくする上では、指の付け根がネックの指板付近に来る方が有利です。 指の付け根がネックの向こうの遠くに行っていたり、指板表面よりもネック裏に沈み込むような格好になっていたとしたら、手首を少し押し込んでネックの縁に指の付け根がより近くなるようにするのが良いと思います。
それと、親指をどこに配置するかによっても、手のバランスは変化します。 他の指が動かしやすいフォームになるように、親指の位置を見直してみるのも必要でしょう。 その上では、親指をネックに触れさせた状態から弦を押さえに行くのとは逆に、まず押さえるべきポジションに他の指を総て配置して弦を軽く押す状態を作り、そこから親指をネックの裏側に添えて無理のかからない位置を探ってみるのも良いでしょう。 その時に親指をいつもの位置にもっていこうとして他の指が隣の弦に触れるとしたら、いつも親指を置いていた位置があまり適切ではなかったとみることができます。
その他、弦を押さえる時にはあまり力任せにしないのが良いでしょう。 はじめのうちは力みがちになることも多いと思いますが、うまくいかない分を握力で押し切ると、コードチェンジなどの時に力みがスムーズな動きを邪魔することもありますし、指先を傷めたりすることも考えられます。 弦を押えるときの不具合については、まずはフォームを整えることから考えるのが良いと思います。 力の伝え方をうまくすれば、案外軽い力でも弦を押さえられると思います。
参考まで。