#3さんは「生後すぐは、ママの抗体があるから、あまり病気にはならない」と書かれていますが、これは半分は本当ですけど、半分は違います。
ママから貰うことの出来る抗体は、ママがかかったことのある病気だけです。
ママ自身が、病気にかかったことにより、その抗体(免疫)を持っているからです。
風邪だけでも何百種類のウイルスがあると言われています。産前にその全てにかかり全ての免疫を持っておくことは、不可能ですよね。(んな事が可能だったら、産後は全く風邪ひかないです)
ママがかかった事のない風邪の免疫は、ママ自身が持っていないので、赤ちゃんにもプレゼントしていません。
生後1ヶ月でも、鼻風邪をひくことはあります。
お風呂は無理に入れなくても、体を拭いてあげるだけでもOK。ママが心配なら、入れない方が安心かもしれません。
熱が通常と変わらないなら、様子を見るという方法もあります。
ただ、全ての風邪が、発熱を伴うわけではないので、熱だけで判断せず、総合状態で判断してあげてくださいね。
#2さんが書かれているように、病気以外の原因で、鼻水や咳が出ることもありますが、今回は「あまり元気ではない」ということで、病気以外の原因でない可能性はあると思います。
今は病気でないのに、鼻水や咳があることで、母乳やミルクを飲む時に呼吸が出来なくて、栄養不足になって抵抗力も落ちちゃったら、本当の病気になっちゃうかもしれないし。
一度、病院に連れていって、「こういう場合は、病院に連れていかなくても様子をみていいんだ」など勉強するのも手かもしれません。