メールデータの移行は、一般的には
・旧端末のデータの保存でSDカード等に保存し、新端末のデータの復元でSDカード等から読み込む
・旧端末のデータの保存でキャリアのサーバーにデータを預け、新端末のデータの復元でキャリアのサーバーからデータを読み込む
などの方法があります。
前者では、新旧両方の機種でSDカードが使えないと実行できません。
後者では、新旧両方の機種でモバイル通信(パケット通信)によるキャリア認証が必要で、機種変更前に旧機種でデータを預け、機種変更した後に、新機種でデータの復元をしないといけません。機種変更を行ってしまった後では、旧機種でキャリア認証が行えず、データをキャリアサーバーに預けられません。
可能だとしたら「旧スマホと新スマホが同一メーカーのスマホだった場合」です。この場合、スマホに元から入っている「データ移行ツール」で、旧機種と新機種をWiFiで繋いでメールデータの移動が出来る可能性があります。
メーカーが違うと、メールアプリで扱うメールデータの形式が異なるので「旧機種でメールデータをエクスポートして、どうにかして外部出力したファイルを旧機種から新機種にコピーして、新機種でエクスポートしたデータをインポートする」という作業が必要です。
この場合も「旧機種から新機種へファイルをコピーする手段」が必要で、両機種でSDカード等が使えないと、同じ問題に直面します。