インコによっても色々です。
弱っている場合もあるし、安心している場合でもそういう寝方をしたりします。
普段からそういう寝方をしているのを見ると、野生がなくなってるねぇ。なんて話たりしていますけどね。
小動物などは、目を開けたまま寝ているものが多いです。鳥なども止まり木に立ったまま寝ているのも危険が来たらすぐに飛び立てる様に。目を開けているのは、周囲の異変を察知するため。
でも、ペットとして飼われていると、目を閉じて寝ますし、鳥なら止まり木から降りて平な床で寝ていたり、横になって寝る様なものも出てきたりします。
病気でなくてもです。
鳥の場合本当に調子が悪くなれば気に止まっていられなくもなって、床にいることもあります。
ただ、小動物や鳥など、もともと体力がないので、本当にやばそうとなった時には、手の内用がないということもあるので、普段からよく観察されることをお勧めします。
止まり木に突っ伏して寝ているのって、動物園などのTwitterでもよく見る寝方の一つですね。